Teorija mere*

Vrsta predmeta:

obvezni modulski

Nosilec predmeta

prof. dr. Roman Drnovšek, doc. dr. Marko Kandić

Študijski program in stopnja

Uporabna statistika, druga stopnja

Študijska smer

Matematična statistika

Letnik

Semester

Predavalnica

Lokacija

O predmetu

Mere: σ-algebre, pozitivne mere, zunanje mere, Caratheodoryjev izrek, razširitev mere iz algebre na sigma algebro, Borelove mere na R , Lebesguova mera na R.
Merljive funkcije: aproksimacija s stopničastimi funkcijami, načini konvergence funkcijskih zaporedij, izrek Jegorova.
Integracija: integral nenegativne funkcije, izrek o monotoni konvergenci, Fatoujeva lema, integral kompleksne funkcije, izrek o dominirani konvergenci, primerjava Riemannovega in Lebesguovega integrala, izrek Jegorova.
Produktne mere: konstrukcija produktnih mer, monotoni razredi, Tonellijev in Fubinijev izrek, Lebesguov integral na Rn.
Kompleksne mere: predznačene mere, Hahnov in Jordanov razcep, kompleksne mere, variacija mere, absolutna zveznost in vzajemna singularnost, Lebesgue-Radon-Nikodymov izrek.
Lp-prostori: neenakosti Jensena, Hölderja in Minkowskega, omejeni linearni funkcionali, dualni prostoir.
Integriranje na lokalno kompaktnih prostorih: pozitivni linearni funkcionali na Cc(X), Radonove mere, Rieszov izrek, Lusinov izrek, gostost prostora Cc(X) v Lp-prostorih.
Odvajanje mer na Rn : odvajanje mer, absolutno zvezne in funkcije z omejeno totalno variacijo.

Študent pridobi znanje osnov teorije mere, ki jih potrebuje za razumevanje osnov sodobnega verjetnostnega računa, statistike in funkcionalne analize.

Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih pojmov teorije mere.
Uporaba: Teorija mere sodi med temeljne predmete, saj je nujno potrebna za razumevanje teoretičnih osnov verjetnostnega računa in statistike.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Sposobnost abstraktnega razmišljanja. Spretnost uporabe domače in tuje literature.