Teorija mere
Vrsta predmeta
obvezni modulski
Nosilec predmeta
prof. dr. Roman Drnovšek, doc. dr. Marko Kandić
Študijski program in stopnja
Uporabna statistika, druga stopnja
Študijska smer
Matematična statistika
Letnik
1.
Semester
2.
O predmetu
Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti
- Vpis v prvi letnik študija.
Vsebina
- Mere: σ-algebre, pozitivne mere, zunanje mere, Caratheodoryjev izrek, razširitev mere iz algebre na sigma algebro, Borelove mere na R , Lebesguova mera na R.
- Merljive funkcije: aproksimacija s stopničastimi funkcijami, načini konvergence funkcijskih zaporedij, izrek Jegorova.
- Integracija: integral nenegativne funkcije, izrek o monotoni konvergenci, Fatoujeva lema, integral kompleksne funkcije, izrek o dominirani konvergenci, primerjava Riemannovega in Lebesguovega integrala, izrek Jegorova.
- Produktne mere: konstrukcija produktnih mer, monotoni razredi, Tonellijev in Fubinijev izrek, Lebesguov integral na Rn.
- Kompleksne mere: predznačene mere, Hahnov in Jordanov razcep, kompleksne mere, variacija mere, absolutna zveznost in vzajemna singularnost, Lebesgue-Radon-Nikodymov izrek.
- Lp-prostori: neenakosti Jensena, Hölderja in Minkowskega, omejeni linearni funkcionali, dualni prostoir.
- Integriranje na lokalno kompaktnih prostorih: pozitivni linearni funkcionali na Cc(X), Radonove mere, Rieszov izrek, Lusinov izrek, gostost prostora Cc(X) v Lp-prostorih.
- Odvajanje mer na Rn : odvajanje mer, absolutno zvezne in funkcije z omejeno totalno variacijo.
Cilji in kompetence
Študent pridobi znanje osnov teorije mere, ki jih potrebuje za razumevanje osnov sodobnega verjetnostnega računa, statistike in funkcionalne analize.
Predvideni študijski rezultati
- Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih pojmov teorije mere.
- Uporaba: Teorija mere sodi med temeljne predmete, saj je nujno potrebna za razumevanje teoretičnih osnov verjetnostnega računa in statistike.
- Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov uporabe.
- Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Sposobnost abstraktnega razmišljanja. Spretnost uporabe domače in tuje literature.